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Na resolução de problemas de otimização que envolvem áreas ou volumes máximos sujeitos a restrições geométricas, frequentemente recai-se na análise de funções polinomiais de 2º grau. Considere um problema clássico onde se deseja cercar uma área retangular adjacente a um rio (que não precisa de cerca), dispondo de uma quantidade fixa de arame. Para determinar as dimensões que maximizam a área, o professor deve modelar a função área A(x) e identificar a coordenada do vértice da parábola correspondente. O conceito matemático que justifica que o valor máximo da função ocorre exatamente no vértice, dado que o coeficiente do termo quadrático é negativo (a < 0), baseia-se no fato de que a derivada primeira da função nesse ponto é:
O professor de matemática organizou o "Jogo das Torres de Hanói" com seus alunos do 7º ano para desenvolver raciocínio lógico, reconhecimento de padrões e pensamento recursivo. O jogo consiste em transferir n discos de tamanhos diferentes de uma haste inicial para uma haste final, usando uma haste auxiliar, seguindo regras: mover apenas um disco por vez; nunca colocar disco maior sobre menor. O professor observou que com 3 discos são necessários 7 movimentos, com 4 discos são necessários 15 movimentos, e com 5 discos são necessários 31 movimentos. Qual conceito matemático fundamental os alunos desenvolvem ao identificar o padrão do número mínimo de movimentos necessários para resolver o jogo com n discos?
Um gestor financeiro modela o custo total mensal de uma produção por meio de uma função afim, considerando custo fixo, custo variável unitário e uma taxa adicional de 10% sobre o custo variável total, referente a encargos indiretos. Sabendo que o custo fixo é de R$ 300,00 e o custo direto por unidade é de R$ 15,00, determine a função f(x) que representa o custo total.

Um biólogo em um microscópio acompanha o deslocamento de uma bactéria. O campo de visão do biólogo forma um sistema cartesiano ortogonal com centro no ponto O = (0,0). Ele observa que a bactéria se desloca de acordo com a função do 2 tempo t dada por s(t) = t2 + 2t em relação ao sistema cartesiano ortogonal. Se o tempo t é medido em segundos e no tempo t = 10 segundos ele observa que a reta tangente à função deslocamento s(t) = t2 + 2t é dada pela equação y = mt + 10, com m Imagem associada para resolução da questão ℝ, então é CORRETO afirmar que equação da reta tangente à função deslocamento no tempo t = 10 segundos é dada por:

Durante a análise financeira de um pequeno comércio, um consultor determinou que o lucro mensal L(x), em reais, segue a função f(x)=-x²+60x−500, em que x representa a quantidade de unidades vendidas. Com base nessa função quadrática, avalie as seguintes afirmações:
I.A quantidade de unidades que maximiza o lucro mensal é igual a 30 unidades.
II.O valor do lucro máximo mensal que a empresa pode atingir é de R$ 500,00.
III.O lucro é nulo quando a empresa vende exatamente 10 ou 50 unidades.
IV.A representação gráfica dessa função é uma parábola com concavidade voltada para cima.
Está CORRETO o que se afirma em:
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