2. Questões de Concurso

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Um torneio de futebol foi disputado por apenas cinco times, de modo que cada time jogou com cada um dos outros uma única vez. Nesse torneio, cada vitória deu ao vencedor 3 pontos, cada empate deu 1 ponto para cada um dos dois times, e cada time derrotado não ganhou nem perdeu ponto. A Tabela abaixo mostra a pontuação de cada time, após o término do torneio.

Quantos empates houve nesse torneio?

Considere dois triângulos equiláteros tais que o menor tem o lado medindo a metade da medida do lado do maior. O triângulo menor gira, no sentido horário, em torno do maior. Os giros são feitos sempre mantendo algum contato (sem deslizamento) entre os dois triângulos. Cada passo consiste no giro que termina com um vértice do triângulo pequeno coincidindo com um vértice do triângulo grande, e um lado do triângulo pequeno apoiado em um lado do grande, como mostra a Figura abaixo.
 
 

A Figura correspondente ao fim do 2.014º passo é:

Juninho brinca com uma folha de papel da seguinte forma: corta-a em 6 pedaços, depois apanha um desses pedaços e o corta em 6 pedaços menores; em seguida, apanha qualquer um dos pedaços e o corta, transformando-o em 6 pedaços menores. Juninho repete diversas vezes a operação: apanhar um pedaço qualquer e cortá-lo em 6 pedaços. Imediatamente após uma dessas operações, ele resolve contar os pedaços de papel existentes.

Um resultado possível para essa quantidade de pedaços de papel é
Na Figura abaixo, em cada um dos pontos destacados, será escrito um número, de modo que, para qualquer segmento desenhado (lados dos hexágonos), a soma dos números escritos em suas extremidades seja a mesma. Já estão escritos dois dos números.


Sendo assim, o valor de x é
A respeito de um pequeno grupo indígena, um repórter afirmou: “todos os indivíduos do grupo têm pelo menos 18 anos de idade". Logo depois, descobriu-se que a afirmação a respeito da idade dos indivíduos desse grupo não era verdadeira.

Isso significa que
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