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Um ponto se desloca sobre uma reta no sistema cartesiano. Para cada posição desse ponto, sua projeção ortogonal sobre o eixo das abscissas é dada por x = 2 + 3t, e a projeção ortogonal sobre o eixo das ordenadas é y = 3 + 2t, assumindo t o valor de um número real distinto para cada posição do ponto.

Nessas condições, uma equação geral da reta sobre a qual o ponto se desloca é

Considere um triângulo ABC cuja altura relativa ao lado AC mede 6 cm. Essa altura divide o lado AC em dois segmentos que medem 4 cm e 9 cm.


Nessas condições, sendo m a medida do ângulo ABC, tem-se

A representação geométrica de todas as soluções de uma equação do primeiro grau com três variáveis, ax + by + cz = d, é um plano do R3 . Um sistema de três equações a três variáveis tem um plano para cada uma das equações, e as posições relativas desses três planos estão relacionadas com as soluções do sistema.
Os planos correspondentes às equações do sistema Imagem associada para resolução da questão são

Uma máquina pode ser considerada um dispositivo com uma porta de entrada, uma porta de saída, e um mecanismo que transforma o que entra em algo que sai. Uma função pode ser esquematizada como uma máquina transformadora de números. Por exemplo, f(x) = 2x transforma cada número em seu dobro (f(1) = 2; f(3) = 6; f(12) = 24): entra um número x, esse número passa pelo mecanismo 2x e é transformado em seu dobro. Uma forma de representação dessa ideia é:


Imagem associada para resolução da questão


Máquinas podem trabalhar juntas. Por exemplo, uma máquina que dobra pode trabalhar junto com uma outra que soma 1, e tem-se:


Imagem associada para resolução da questão

Essas máquinas podem ser substituídas por uma única máquina que faz o trabalho das duas juntas (qualquer que seja o número que entre na primeira máquina, essa nova máquina devolverá o mesmo número que as duas juntas). O mecanismo dessa nova máquina é 2x + 1.


Imagem associada para resolução da questão


Considere as máquinas acopladas e seus mecanismos representados no esquema a seguir:


Imagem associada para resolução da questão


O mecanismo da máquina que, sozinha, faz o trabalho dessas duas juntas é:

Sejam a progressão geométrica (an), de primeiro termo 6 e razão 1/3, e a progressão aritmética (bn), de primeiro termo 1 e razão 3.

Qual é o valor do limite da soma de todos os termos da sucessão (abn )?